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By S. Zaidman

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Read e-book online An Invitation to Morse Theory (2nd Edition) (Universitext) PDF

This self-contained therapy of Morse concept specializes in functions and is meant for a graduate direction on differential or algebraic topology. The publication is split into 3 conceptually precise elements. the 1st half includes the rules of Morse concept. the second one half contains functions of Morse conception over the reals, whereas the final half describes the fundamentals and a few functions of advanced Morse thought, a.

Download e-book for iPad: Cohomology Theory of Topological Transformation Groups by Wu Yi Hsiang (auth.)

Traditionally, functions of algebraic topology to the learn of topological transformation teams have been originated within the paintings of L. E. 1. Brouwer on periodic alterations and, a bit later, within the attractive mounted element theorem ofP. A. Smith for high periodic maps on homology spheres. Upon evaluating the fastened aspect theorem of Smith with its predecessors, the mounted element theorems of Brouwer and Lefschetz, one unearths that it's attainable, no less than for the case of homology spheres, to improve the realization of mere lifestyles (or non-existence) to the particular selection of the homology form of the fastened element set, if the map is believed to be major periodic.

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Sur PROPOSITION 3. - L'application (t, z) H tz est un homéomorphisme de R * x Sn RE. En effet, tout point x # O peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme tz, avec t > O et jizii = 1, car de la relation x = tz, on tire t = IIxII, et z = x/ llx 1 . Puisque tz est continue dans le produit R x Rn, donc a fortiori dans R * x Sn-,, et que ljxlj et l///xljsont continues dans Rn, la proposition est démontrée. ,. L'application x H x/ /lxlj est appelée projection centrale de RE sur Sn- O n définit de même la projection centrale du complémentaire d'un point a sur une sphère de centre a.

Soit (ai)l,l,n un système libre de n vecteurs de R n (ou, ce qui revient au même (A, II, p. 97, prop. l ) , une base de l'espace vectoriel Rn); si b est un point n quelconque de Rn, l'ensemble P des points x = b -1 < u, + <2= 1 utai, . Q 1 pour 1 tels que - < i < n, est un voisinage compact de b ; en effet, il existe une application affine bijective f de R n sur lui-même, telle que f (b) = 0, f (b + a,) = el pour 1 < i Q n, et f (P) est le cube produit des n intervalles ( - 1, + 1) dans les espaces facteurs de Rn.

A;)est une autre base de E, et si x = = i=1 H (xi) i =1 de R n sur lui-même est une application linéaire, donc un homéomorphisme. Nous verrons ultérieurement que la topologie ainsi définie peut être aussi caracttrisée de la maniére suivante: c'est la seule topologie séparée sur E, pour laquelle les fonctions x - y et t x soient continues (dans E x E et R x E respectivement) (EVT, 1, $2, th. 2). Si maintenant A est une algèbre de dimension finie n sur le corps R, la topologie précédente sur A (considéré comme espace vectoriel à n dimensions sur R ) est non seulement compatible avec la structure de groupe additif de A, mais aussi avec sa structure d'anneau.

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